Özdeşlikle ilgil i 40 soru cevaplarıyla birlikte

Özdeşlikle ilgil i 40 soru cevaplarıyla birlikte »Özdeşlikle ilgil i 40 soru cevaplarıyla birlikte ...

Özdeşlikle ilgil i 40 soru cevaplarıyla birlikte

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin  de yazılamayan polinomlara  indirgenemeyen polinomlar denir. Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar Asal polinomlar  denir.
 
*  P(x) = x2 + 4 ,  Q(x) = 3x2 + 1,  R(x) = 2x – 3 ,  T(x) = - x + 7
Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.
 
P(x) = x2 + 4  baş katsayısı 1 olduğundan  asal polinom dur.
 
 
Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.
 
a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4
 
b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2   özdeşlik
 
c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2     özdeşlik değildir.
 
 
ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER
 
I) Tam Kare Özdeşliği:
 
a) İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 
b) İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
 
İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.
 
c) Üç Terim Toplamının Karesi:
 
(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.
 
 
II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :
 
a) İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 
b) İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)3 = a3  – 3a2b + 3ab2 – b3
 
Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir
 
Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimlilerin özdeşliklerini de yazabiliriz.
 
 
III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a2 – b2
 
İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir.
 
 
IV) xn + yn  veya xn - yn  biçimindeki polinomların Özdeşliği :
 
i)
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
 
ii)
a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)
a4 –  b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)
 
iii)
a5 + b5  = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)
a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)
 
iv)
a6 + b6  = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)
a6 –  b6  = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)
 
v)
a7 + b7  = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)
a7 –  b7  = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)
 
 
Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz
 
1)  x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy
 
2)  x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy
 
3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy
 
4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy
 
5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)
 
6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)
 
7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)
 
 
1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?
 
x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy              2ab = 289 – 145
145 =  (17)2 – 2ab                     2ab = 144         ab = 72     C= 72
 
2)   a – b = 6            (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab       (a + b)2 = 44
a . b = 2                          = ( 6 )2  + 4.2             (a + b) =
a + b = ?                         =  36 + 8                                = 44
 
3)   a – 2b = 3  ise;  a2 + 4b2 = ?    a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b
a . b = 2                                                 = ( 3 )2 + 2. 2 .2  = 17
 
4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab    4 ab = 108
a – b = 6                               ( 12 )2 = ( 6 )2  + 4ab           ab = 27
 
5)
m + n =8                        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
m . n = 1                         m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)
m3 + n3 = ?                                  = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488
 
6)
a3 – b3 = 50                    x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)
a – b = 2 ise;                   a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
a . b = ?                          50 = 8 + 6ab   6ab = 42 ab = 7
 
7)
x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)
= ( 3 )3 + 3.1.( 3 ) = 36
10) ise;      x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
198
 
8)
a + b + c = ?               a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)
ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )2 – 2 ( 12 )
a2 + b2 + c2 = ?                              = 49 – 24 = 25
 
 
ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI
 
 
1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :
Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.
 
1)  Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız. bilgiyelpazesi.net
 
a)  3a + 3b = 3(a + b)
 
b)  5m – 10mn = 5m (1 – 2)
 
c)  12x + 9y =3(4x + 3y)
 
d)  3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)
 
e)  3ax + 3ay – 3az
 
f)  (a – b) x + 3 (a – b)
 
g)  (m – n) – (a + b)(m – n)
 
h)   – a – b – x2 (a + b)
 
ı)   x2(p – 3) + ma2 (3 – p)
 
i)   1 – 2x + m (2x – 1)
 
 
2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :
 
Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.
 
2)
a)  mx + ny + my + nx
 
b)  xy – xb – yb + b2
 
c)  x4 – 4 + 2x3 – 2x
 
d)  2x2 –3x – 6xy + 9y
 
e)  x3 – x + 1 – x2
 
f)   x4 – x + x3 – 1
 
g)  ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2)
 
h)  ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b
 
ı)  mn(zi + y2) + zy (m2 + n2)
 
i)  a2b2 + 1 – (a2 + b2)
 
 
3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :
 
Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir
 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,         a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
 
 
3)
 
a)  x2 + 4xb + 4b2
 
b)  4a2 + 12ab + 9b2
 
c) 4a2b2 – 4abc + c2
 
4)
 
a) a2b + 8ab +16b3
 
b) 2m3 – 28m2 +98m
 
c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3
 
 
4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :
 
Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.
 
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
 
5)  a) 25 – 9a2b2
 
b) x4 – 1
 
c) (m – n)2 – (m + n)2
 
 
6)  a) 18x2 – 2y2
 
b) 2a2b3 – 32b
 
c) 12x3y – 75xy5
 
 
7)
 
a) 9a2 – 6a +1 – b2
 
b) x2 – 12x + 36 – 4y2
 
c)16m2 – n2 – 6n – 9
 
d)1 – x2 – 2xy – y2
 
e) m2 – n2 – 3m + 3n
 
f) a2 – 25b2 – a + 5b
 
g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2
 
h)  9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2
 
 
5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:
 
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) ,  a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
 
 
8)   a) a3 + 8
 
b) 8 – m3
 
c) x3 + 1
 
d) 27a3 – 64
 
e) x3a3 + b3
 
9)   a) 81m3 – 3n3
 
b) 24x3y – 3y
 
c) 2x + 54x4
 
10)  a) (x +y)3 – 8
 
b) a3 + 8(a - b)3
 
c) (m – n)3 + 1
 
 
6) xn   yn   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:
 
 
11)
 
a)  x4 + 1  =  (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)
 
b)  x4 – 1  =  (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)
 
c)  x5 + 25 =  (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)
 
d)  x5 – 1  =  (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)
 
 
7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:
 
Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir
 
12)  4x4 + 7x2 + 4  ifadesini Çarpanlarına ayırınız.
 
4x4  +  7x2  + 4  =  4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2               = 4x4 + 8x2 + 4– x2
= (2x2 + 2)2 – x2
2x2                                                                = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)
2.2x2.2 = 8x2                                                               = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)
 
 
13)  x2 – 6x + 5   ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.
x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5    = (x – 3)2 – 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)
 
14)
 
a)  m2 + 2m – 24
 
b)  a4 + a2 + 1
 
c) 16a4 + 4a2b2 + b4
d)  a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1
 
(Not: b2 yi bir ekleyip - çıkar )
 
 
8)  x2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :
 
15)
 
a) x2 + 5x + 6
 
b) x2 – 5x + 6
 
c) x2 + 7x + 6
 
d) x2 – 7x + 6
e) x2 + 5x – 6
 
f) x2 – 5x – 6   g) x2 + x – 6
 
h) x2 – x – 6
 
ı) x2 – 7x – 18
 
i) x4 – x2 – 30
 
k) m2 – 6m – 27
 
l) x2 – 3xy – 10y2
 
m)  –x2 – 2x + 3
 
n) x2 – 13x + 30
 
o) x2 + 2y2– 3xy




9) ax2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :
 
ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q) bilgiyelpazesi.com
mx            p
nx            q     (mx.q + nx.q = bx  oluyorsa)
 
 
16)
6x2 + 7x – 3   =  (3x – 1) (2x + 3)  olur.
3x          – 1       (3x . 3 – 1. 2x  =  9x – 2x  = 7x  olduğundan)
2x         + 3
 
17)
a) 3x2 – 2x – 8            b) 3x2 – 7x + 2       c) 2m2 + 5mn – 12n2
 
d) 8a2 – 2ab – b           e) 4x2 + 21x + 5     f) 36a2 – 33ab – 20b2
 
g) 4m2 + 11m – 3        h) 6a2 + 5a – 6        ı) 12a2 – 8ab – 15b2
 
i)  2m2 – 10m + 12        k) 3x2 + 3x – 18      l)  3 n2 + 30n + 48
 
18)
a2 + 2ab + b2 = 3     ve   c2 + 2ac + 2bc = 6   ise;  a + b + c = ?
c2 + 2ac + 2bc = 6   T.T.T
a2 + b2 + c2 + 2ab  + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9  Ç = {-3, 3}
 
19)
x = 4 , y = 2 ise,  x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?
a) 16    b) 32    c) 64    d) 128   e) 256
x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32
 
20)
a + b yerine ab yazılırsa
(a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur.
a .b  = y   diyelim.
y2 – 2y – 24 = 0     y – 6) (y + 4) = 0      y = - 4   ve   y = 6

 
Etiket:

Bu bilgi size yardimci oldu mu?

Evet Hayır

(3 oy, ortalama: 1/5 üzerinden)

Konu Hakkında Görüşün Nedir?

Bu Konuyu Neden Beğenmediğinizle ilgili açıklayıcı yazı yazarsanız konuyu ona göre güncelleyeceğiz.



Turkiyenin baskenti neresidir. kucuk harfle yazin.:

Mesajınıza cevap yazmamızı isterseniz aşağıdaki alanı doldurun

Email:
Özdeşlikle ilgil i 40 soru cevaplarıyla birlikte

Özdeşlikle ilgil i 40 soru cevaplarıyla birlikte »Özdeşlikle ilgil i 40 soru cevaplarıyla birlikte