Kuadratİk Formlarin İncelenmesİ ...(

Projenin Adı: Kuadratik formların incelenmesi

Projenin Amacı: Projemizin amacı ax2+bxy+cy2 formunda gösterilebilen tamsayıları incelemek ve bu tamsayıların hangi şartları sağlaması gerektiğini araştırmaktır.

Giriş:

Kuadratik formlar üzerinde çalışmalarda bulunan matematikçilerden biri

ünlü Fransız matematikçi Pierre de Fermat’tır (1601-1665). Fermat, çalışmaları sonucu kuadratik formlarla ilgili çeşitli teoremler bulur ve bunları yayımlar.

Teoremlerinden bazıları:

Teorem F.1 (iki kare teoremi) 4k+1 formundaki her asal sayı iki kare toplamı şeklinde gösterilebilir.

Teorem F.2 (25 Eylül 1654’te Pascal’a yazılan mektuptan) 3k+1 formundaki her asal sayı x2+3y2 şeklinde yazılabilir. Ayrıca 8k+1 veya 8k+3 formundaki her asal sayı x2+2y2 şeklinde gösterilebilir.

Teorem F.3 N tamkare olmayan bir tamsayı olsun. Nx2+1=y2 denkleminin sonsuz çoklukta çözümü vardır.

Teorem F.4 a=b2c formunda bir tamsayı (c’nin tamkare böleni yok), a sayısı iki kare toplamı şeklinde gösterilebilir ancak ve ancak c’nin tüm asal bölenleri 4n+1 formunda veya 2 ise.

Ünlü matematikçi Jacobi, Fermat’ın x2+y2, x2+2y2, x2+3y2, x2-dy2,... şeklindeki kuadratik formlar üzerindeki çalışmaları hakkında şunları yazmıştır:

“Matematikçilerin bu teoremleri ispatlamak için yaptıkları çalışmalar, büyük aritmetik teorisinin doğmasına neden oldu.”

Fermat’ın iki kare teoremini ünlü matematikçiler Legendre(1808), Gauss(1825), Serret(1848) ve Jacobsthal(1906) kendilerine özgü yöntemleriyle ispatlarlar.

Kuadratik formlar üzerinde önemli çalışmaları bulunan ünlü matematikçilerden biri de Joseph Louis Lagrange’dır(1736-1813). Lagrange q(x,y)=ax2+bxy+cy2 şeklindeki kuadratik formlar üzerinde çalışmalarda bulunur. x2+y2, x2+2y2, x2+3y2, x2-dy2,... şeklindeki kuadratik formlar Fermat tarafından zaten incelenmiştir. Lagrange bu çalışmalarını 1773 yılında “Recherches d’aritmètique” adıyla yayımlar. (Recherches d’aritmètique ’den bir bölüm)

“Araştırmam Bt2+Ctu+Du2 şeklinde gösterilebilen sayılarla ilgilidir.

İfadedeki B,C,D belli tamsayılar ve t,u değişken tamsayılardır. İlk olarak çarpımları aynı formda gösterilebilen kuadratik formları araştıracağım, sonra böyle bir formda gösterilebilen en küçük sayıyı bulmak için bir yöntem göstereceğim. Bulduğumuz yöntem bize bir tablo oluşturmada yardımcı olacak. Bu tabloyu sayıların bölenlerini araştırmak için nasıl kullanılacağını anlatacağım.

Son olarak da Bt2+Ctu+Du2 formunda gösterilebilen asallar ile ilgili bazı teoremleri ispatlayacağım. Bu teoremlerin bazıları bilinen fakat ispatlanmamış teoremler ve diğerleri ise yeni teoremlerdir.”

Joseph Louis Lagrange, 1773

Lagrange’ın bu çalışmaları ve teoremleri kuadratik formlar teorisinin gelişmesinde önemli rol oynar.

Kuadratik formlar üzerinde çalışmaları bulunan ünlü matematikçilerden bir başkası da Leonhard Euler’dir(1707-1783). Euler’in çalışmalarının çoğu Fermat’ın teoremler üzerine olmuştur. Dolayısıyla Fermat’ın kuadratik formlarla ilgili teoremleri Euler tarafından da ispatlanmaya çalışılır. Başka bir ünlü isim ise Alman matematikçi Carl Freidrich Gauss’tur(1777-1783). Gauss da diğer matematikçiler gibi Fermat’ın teoremleri üzerinde çalışır ve bu teoremlerin birçoğunu kendine özgü metotlarıyla ispatlar.



 

Yöntem:

Görüldüğü gibi kuadratik formlar, ünlü matematikçiler tarafından incelenmiş ve birçok teorem ortaya konulmuştur.(bkz. From Fermat to Minkowski, ODTÜ kütüphanesi)

Projemizin amacı ax2+bxy+cy2 formunda gösterilebilen tamsayıları incelemek ve bu tamsayıların hangi şartları sağlaması gerektiğini araştırmaktır.

Tanım: f(x,y)= ax2+bxy+cy2 a,b,c belli tamsayılar ve x,y değişken tamsayılar iken f fonksiyonu bir kuadratik formdur. b2-4ac ifadesi f’in diskriminantıdır. Proje süresince “kuadratik form” ifadesi kısaca KF ile, f’in diskriminantı olan b2-4ac ifadesi d(f) ile gösterilecektir.

Teorem 1:

f(x,y)=n denkleminin (x,y)=1 olacak şekilde çözümü bulunmasını olanaklı kılan d(f)=d-a’ kabul edebiliriz.(aksi taktirde 2. dönüşümü uygun kullanarak elde edeceğimiz KF bu şartı sağlar.)

c’>a’ Ş c’>a’³b’>-a’

a’=c’ Ş a=c³b³0 kabul edebiliriz.(aksi taktirde 1. dönüşümü kullanarak istediğimiz ifadeyi sağlayan KF bulabiliriz.)

Tanım: f(x,y)= ax2+bxy+cy2, a,b,c tamsayıları (a,c ÎZ+) a=c³b³0 veya c’>a’³b’>-a’ eşitsizliklerini sağlıyorsa f KF’una indirgenmiş KF diyelim.(indirgenmiş KF ifadesini kısaca İKF olarak göstereceğiz.)

Teorem: Diskriminantı negatif olan her KF’a denk bir İKF vardır.

Teoremin ispatı yukarıda gösterilmiştir.

 

 

f ile g indirgenmiş, fºg ve f¹g olsun.

f(x,y)=ax2+bxy+cy2, g(x,y)=a’x2+b’xy+c’y2

(x,y)=1

i)|x|,|y|¹0 (c³a³|b|........(1))

|x|³|y|Ş f(x,y)=a|x|2+bxy+c|y|2³a|x|2-|b||xy|+c|y|2³

³a|x|2-|b||x|2+|y|2³|x|2(a-|b|)+c|y|2³|y|2(a-|b|+c) ³

a-|b|+c³c³a

|y|³|x|Ş f(x,y)= a|x|2+bxy+c|y|2³a|x|2-|b||xy|+c|y|2³

³a|x|2-|b||y|2+c|y|2³a|x|2+(c-|b|)|y|2³|x|2(a-|b|+c) ³

³a-|b|+c³c³a

ii)|x|=0Ş|y|=1Şf(x,y)=c

|y|=0Ş|x|=1Şf(x,y)=a

Yani (x,y) Ş f(x,y) nin alabileceği minimum 3 değer

a £ c £ a-|b|+c dir. (Ayrıca bu değerler kesinlikle

alınmaktadır. f(1,0)=a, f(0,1)=c, ve f(1,1) ile f(1,-1) den birisi a-|b|+c olur)

Aynı şekilde (x,y)=1Ş g(x,y) nin alabileceği minimum 3 değer

a’ £ c’ £ a’-|b’|+c’ dür.(Ayni şekilde bu değerler de

alınmaktadır.)

fºg Ş Nf={f(x,y)| (x,y)=1}={g(x,y)| (x,y)=1}=Ng olduğundan

Nf in minimum elemanı ile Ng nin minimum elemanı ile aynıdır. Yani a=a’

fºg Ş d(f)=d(g) Ş b2-4ac = (b’)2-4a’c’ = (b’)2-4ac’ Ş 4a(c-c’)=(b’)2-b2........(¨)

Şimdi birkaç durum inceleyelim.

æ c=c-|b|+a (i)

æ c’>c

c=a å cc, c0)

a³|b| olduğundan |b’|=2a-|b|³a=a’³|b’| Ş a’=|b’| eşitlik durumu

2a-|b|=a Ş a=|b| Ş a=|b|=a’=|b’| Ş |b|=|b’|

(¨)Ş 4a(c’-c)=(b’)2-b2=0 Ş c’=c ve a’=a

iii)c=a, c’=c Ş a’=a=c=c’ Ş c’=c ve a’=a

iv)a’=a=c>c’³a’ ®¬

v)a=c durumları ile simetrik yani a’=c’ Ş c’=c ve a’=a

vi)c¹a, c’¹a’ Ş c³a, c’³a’ ve Nf ile Ng nin en küçük ikinci

elemanları da eşit olacağından a=a’ ve c=c’ olur

Dolayısıyla

f(x,y)=ax2+bxy+cy2, g(x,y)=a’x2+b’xy+c’y2,

fºg , f¹g, f,g indirgenmiş ise a=a’, c=c’ dür...............................................  ....... (ª)

x,y¹0 Ş f(x,y) ³ a-|b|+c³c³a (Eşitlik durumunda

|x|=|y|=1 olmalı.)

(i)x,y¹0, f(x,y)=a Ş x,y Î {-1,1} Ş f(x,y)=a±b+c=a

(fonksiyonda x,y yerine ±1 yazılınca kolayca görülür)

a+|b|+c>a olduğundan a-|b|+c=f(x,y)=a olmalı.

O zaman c=|b| ve c³a³|b| olduğundan a=|b| olur.

(ii) x,y¹0, f(x,y)=c Ş x,yÎ{-1,1} Ş f(x,y)=a±b+c=c

(fonksiyonda x,y yerine ±1 yazılınca kolayca görülür)

a+|b|+c>c olduğundan a-|b|+c=c olur .O zaman a=|b| olur.

Yani x,y,z,t¹0 iken f(x,y)=a veya f(z,t)=c

olan (x,y) veya (z,t) varsa a=|b| olur.

Ayrıca -a

Linkback: https://www.buyuknet.com/kuadratik-formlarin-incelenmesi-t22742.0.html

 
Etiket:

Bu bilgi size yardimci oldu mu?

Evet Hayır

Kuadratİk Formlarin İncelenmesİ ...(
(Ortalama: 5 üzerinden 1.00 , 2 Oy)


Konu Hakkında Görüşün Nedir? Olumlu yada olumsuz Eleştirileriniz.


Turkiyenin baskenti neresidir. kucuk harfle yazin.:

Kuadratİk Formlarin İncelenmesİ ...(

Kuadratİk Formlarin İncelenmesİ ...( »Projenin Adı: Kuadratik formların incelenmesi Projenin Amacı: Projemizin amacı ax2+bxy+cy2 formunda gösterilebilen tamsayıları incelemek ve